Question

【题目】如图，长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上任一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当CE的长为_____时，△CEB′恰好为直角三角形．

Answer 1

【答案】1或

【解析】

当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．

连结AC，先利用勾股定理计算出AC＝5，根据折叠的性质得∠AB′E＝∠B＝90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB＝EB′，AB＝AB′＝3，可计算出CB′＝2，设BE＝x，则EB′＝x，CE＝4﹣x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x，可得CE的长；

②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，可得BE的长，即可求CE的长．

解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：

①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．

连结AC，

在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，

∴AC＝ ＝5，

∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，

∴∠AB′E＝∠B＝90°，

当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C＝90°，

∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，

∴EB＝EB′，AB＝AB′＝3，

∴CB′＝5﹣3＝2，

设BE＝x，则EB′＝x，CE＝4﹣x，

在Rt△CEB′中，

∵EB′2+CB′2＝CE2，

∴x2+22＝（4﹣x）2，解得x＝，

∴BE＝，CE＝4﹣＝

②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．

此时ABEB′为正方形，

∴BE＝AB＝3，

∴CE＝BC﹣BE＝4﹣3＝1

综上所述：CE＝1或

故答案为：1或