Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB、AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD、CG．给出以下结论：①∠BGD＝120°；②BG+DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④S△ADE＝AB2．其中正确的有（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据菱形的性质和等边三角形的判定可得△ABD为等边三角形，然后根据三线合一可得DE⊥AB，BF⊥AD，根据四边形的内角和即可判断①；利用HL证出Rt△CDG≌Rt△CBG，根据全等三角形的性质和30°所对的直角边是斜边的一半即可判断②；证出CG＞BD即可判断③；利用等边三角形的性质可得S△ABD＝AB2，即可判断④．

解：∵四边形ABCD为菱形，

∴AD＝AB，且∠A＝60°，

∴△ABD为等边三角形，

又∵E、F分别是AB、AD的中点，

∴DE⊥AB，BF⊥AD，

∴∠GFA＝∠GEA＝90°，

∴∠BGD＝∠FGE＝360°﹣∠A﹣∠GFA﹣∠GEA＝120°，

∴①正确；

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠CDG＝∠CBG＝90°，

在Rt△CDG和Rt△CBG中，

，

∴Rt△CDG≌Rt△CBG（HL），

∴DG＝BG，∠DCG＝∠BCG＝∠DCB＝30°，

∴DG＝BG＝CG，

∴DG+BG＝CG，

∴②正确；

在Rt△BDF中，BD为斜边，在Rt△CGB中，CG为斜边，

且BD＝BC，在Rt△CGB中，显然CG＞BC，即CG＞BD，

∴△BDF和△CGB不可能全等，

∴③不正确；

∵△ABD为等边三角形，

∴S△ABD＝AB2，

∴S△ADE＝S△ABD＝AB2，

∴④不正确；

综上可知正确的只有两个，

故选：B．