Question

【题目】如图，△ABC 内接于⊙O，∠B=60°，CD 是⊙O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点且 AP=AC．

（1）求证：PA 是⊙O 的切线；

（2）若，，求⊙O的半径

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）3

【解析】

（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=30°，再由AP=AC得出∠P=30°，继而由∠OAP=∠AOC-∠P，可得出OA⊥PA，从而得出结论；

（2）过点C作CE⊥AB于点E．在Rt△BCE中，∠B=60°，BC=4，于是得到BE=BC=2，CE=，根据勾股定理得到，于是得到AP=AC=．在Rt△PAO中，解直角三角形即可得到结论．

(1)证明：连接

∵∠B=60°

∴∠AOC＝2∠B=120°

又∵OA＝OC

∴∠OAC＝∠OC A=30°

又∵AP＝AC

∴∠P＝∠ ACP=30°

∴∠OAP＝∠A OC-∠P =90°

∴OA⊥PA

∴PA是圆 O 的切线；

(2)解：过点C作CE⊥ AB于点E．

在 Rt△BCE 中，∠B= 60°，

BC =4，

∴

∴

∴在 Rt△ACE 中， ，

∴

∴在 Rt△PAO 中，OA=3，

∴⊙O的半径为 3．