Question

阅读理解：对于二次三项式x²+2ax+a²可以直接用公式法分解为（x+a）²的形式，但对于二次三项式x²+2ax-3a²，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x²+2ax-3a²中先加上一项a²，使其成为完全平方式，再减去a²这项，使整个式子的值不变．于是有x²+2ax-3a²=x²+2ax-3a²+a²-a²
=x²+2ax+a²-a²-3a²=（x+a）²-（2a）²=（x+3a）（x-a）．
像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
（1）请用上述方法求出x²-4xy+3y²=0（满足xy≠0，且x≠y）中y与x的关系式．
（2）利用上述关系式求

x

y

-

y

x

-

x2+y2

xy

的值．

Answer 1

分析：（1）根据题中的阅读材料，将所求方程左边3y²变形为4y²-y²，前三项利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式，整理后根据x与y不相等，得到x-y不等于0，可得出y与x的关系式；
（2）将第一问求出的y与x的关系式代入所求式子中，消去y计算后即可得到值．

解答：解：（1）x²-4xy+3y²=0，
变形得：x²-4xy+4y²-y²=0，
即（x-2y）²-y²=（x-2y+y）（x-2y-y）=（x-y）（x-3y）=0，
∵x≠y，即x-y≠0，
∴x-3y=0，
则x=3y；
（2）∵x=3y，
∴

x

y

-

y

x

-

x2+y2

xy

=

3y

y

-

y

3y

-

(3y)2+y2

3y•y

=3-

1

3

-

10

3

=-

2

3

．

点评：此题考查了因式分解的应用，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，利用了代入消元的数学思想，认真阅读题中的材料，得出有用的信息，灵活运用添（拆）项法是解本题的关键．