Question

15．已知：△ABC中，∠ABC与∠ACB外角平分线交于点O，过O作直线交AB，AC延长线于点D，E，且AD=AE．求证：
（1）DO=OE；
（2）△BDO∽△OEC．

Answer 1

分析 （1）欲证明DO=OE只要证明△OMD≌△ONE即可．
（2）先证明∠D=90°-$\frac{1}{2}$∠A，∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A，所以∠BOC=∠D，由∠BOE=∠BOC+∠COE=∠D+∠DBO得∠COE=∠DBO，由此即可证明．

解答 （1）证明：作OM⊥AD，ON⊥AE，OF⊥BC垂足分别为M、N、F．
∵OB平分∠CBD，OC平分∠BCE，
∴OM=OF=ON，
∵AD=AE，
∴∠D=∠E，
在△ODM和△OEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠E}\\{∠OMD=∠ONE}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴△OMD≌△ONE，
∴OD=OE．
（2）∵∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-$\frac{1}{2}$（∠DBC+∠ECB）=180°-$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
$∠D=\frac{1}{2}（180°-∠A）$=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BOC=∠D，
∵∠BOE=∠BOC+∠COE=∠D+∠DBO，
∴∠COE=∠DBO，
∵∠D=∠E，
∴△BDO∽△OEC．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、利用角平分线的性质添加辅助线是解决问题的关键，属于中考常考题型．