题目内容
如图，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点O以1米/
秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、O两点移动t秒（0＜t＜5）后，四边形ABOP的面积为S平方米．（1）求cos∠ACB的值；
（2）求面积S与时间t的关系式；
（3）在P、O两点移动的过程中，能否使△CPO与△ABC相似？若能，求出此时点P的位置；若不能，请说明理由．
分析：（1）利用解直角三角形的性质，cos∠ACB等于∠ACB的邻边除以斜边得出即可；
（2）首先表示出△POC的面积，再利用△ABC减去△POC的面积即可得出答案．
（3）根据△CPO与△ABC相似，则要考虑以下2种情况：①∠POC=90°，②∠OPC=90°，分别求出即可．
（2）首先表示出△POC的面积，再利用△ABC减去△POC的面积即可得出答案．
（3）根据△CPO与△ABC相似，则要考虑以下2种情况：①∠POC=90°，②∠OPC=90°，分别求出即可．
解答：解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，
∴AC=
=10m，
∴cos∠ACB=
=
=
，
（2）过点P作PF⊥BC，
∴PF∥AB，
∴
=
，
∵动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点O以1米/秒的速度从点C出发，
∴
=
，
∴PF=
，
∴S△POC=
×t×
=
，
∴
四边形ABOP的面积为：S=
×6×8-
=
t2-3t+24；
（3）若△CPO与△ABC相似，则有以下2种情况：
①∠POC=90°
∵∠ABC=90°，
∴PO∥AB，
∴
=
，
∴
=
，
解得：t=
，
此时，PO=
(10-2t)=
，OB=8-t=
，
以B为原点，
∴P(
，
)；
②∠OPC=90°
过P作OP⊥AC于P，
∴
=
，
∴
=
解得，t=
，
此时，PE=
(10-2t)=
，BE=8-t=
以B为原点，∴P(
，
)，
综上所述，满足条件的P点的坐标为 (
，
)或 (
，
)．
∴AC=
| 62+82 |
∴cos∠ACB=
| BC |
| AC |
| 8 |
| 10 |
| 4 |
| 5 |
（2）过点P作PF⊥BC，
∴PF∥AB，
∴
| PC |
| AC |
| PF |
| AB |
∵动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点O以1米/秒的速度从点C出发，
∴
| 10-2t |
| 10 |
| PF |
| 6 |
∴PF=
| 30-6t |
| 5 |
∴S△POC=
| 1 |
| 2 |
| 30-6t |
| 5 |
| 15t-3t2 |
| 5 |
∴
四边形ABOP的面积为：S=| 1 |
| 2 |
| 15t-3t2 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
（3）若△CPO与△ABC相似，则有以下2种情况：
①∠POC=90°
∵∠ABC=90°，
∴PO∥AB，
∴
| CO |
| BC |
| PC |
| AC |
∴
| t |
| 8 |
| 10-2t |
| 10 |
解得：t=
| 40 |
| 13 |
此时，PO=
| 3 |
| 5 |
| 30 |
| 13 |
| 64 |
| 13 |
以B为原点，
∴P(
| 64 |
| 13 |
| 30 |
| 13 |
②∠OPC=90°
过P作OP⊥AC于P，
∴
| PC |
| BC |
| OC |
| AC |
∴
| 10-2t |
| 8 |
| t |
| 10 |
解得，t=
| 25 |
| 7 |
此时，PE=
| 3 |
| 5 |
| 12 |
| 7 |
| 31 |
| 7 |
以B为原点，∴P(
| 31 |
| 7 |
| 12 |
| 7 |
综上所述，满足条件的P点的坐标为 (
| 64 |
| 13 |
| 30 |
| 13 |
| 31 |
| 7 |
| 12 |
| 7 |
点评：此题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理、三角形的面积计算、点的坐标等知识点，要注意第三问中，要分对应角的不同来得出不同的对应线段成比例，从而得出运动时间的值．不要忽略掉任何一种情况．
练习册系列答案
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．
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