Question

 (1)如图4­2­25(1)，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m, CE⊥直线m，垂足分别为点D，E.证明：DE＝BD＋CE；

(2)如图4­2­25(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，点D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD＋CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；

(3) 拓展与应用：如图4­2­25(3)，点D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点(D，A，E三点互不重合)，点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状．

图4­2­25

Answer 1

证明：(1)∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，

∴∠BDA＝∠CEA＝90°.

∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°.

∵∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD.

又AB＝AC，∴△ADB≌△CEA.

∴AE＝BD，AD＝CE.∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.

(2)成立．∵∠BDA＝∠BAC＝α，

∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α.

∴∠DBA＝∠CAE.

∵∠BDA＝∠AEC＝α，AB＝AC，

∴△ADB≌△CEA.∴AE＝BD，AD＝CE.

∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.

(3)由(2)知，△ADB≌△CEA，

则BD＝AE，∠DBA＝∠EAC.

∵△ABF和△ACF均为等边三角形，

∴∠ABF＝∠CAF＝60°.

∴∠DBA＋∠ABF＝∠EAC＋∠CAF.

∴∠DBF＝∠EAF.

∵BF＝AF，BD＝AE，∴△DBF≌△EAF.

∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE.

∴∠DFE＝∠DFA＋∠AFE＝∠DFA＋∠BFD＝60°.

∴△DEF为等边三角形．