Question

如图，平行四边形ABCD的顶点A、B的坐标分别是A（-1，0），B（0，-2），顶点C、D在双曲线y=

k

x

上，边AD交y轴于点E，且四边形BCDE的面积是△ABE面积的7倍，则k=

 

．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,反比例函数系数k的几何意义

专题：

分析：分别过C、D作x轴的垂线，垂足为F、G，过C点作CH⊥DG，垂足为H，根据CD∥AB，CD=AB可证△CDH≌△ABO，则CH=AO=1，DH=OB=2，由此设C（m+1，n），D（m，n+2），C、D两点在双曲线y=

k

x

上，则（m+1）n=m（n+2），解得n=2m，设直线AD解析式为y=ax+b，将A、D两点坐标代入求解析式，确定E点坐标，求S_△ABE，根据S_{四边形BCDE}=7S_△ABE，列方程求m、n的值，根据k=（m+1）n求解．

解答：解：如图，过C、D两点作x轴的垂线，垂足为F、G，DG交BC于M点，过C点作CH⊥DG，垂足为H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵BO∥DG，
∴∠OBC=∠GDE，
∴∠HDC=∠ABO，
在△CDH和△ABO中，

∠ABO=∠HDC ∠AOB=∠CDH AB=CD

，
∴△CDH≌△ABO（AAS），
∴CH=AO=1，DH=OB=2，
设C（m+1，n），D（m，n+2），
则（m+1）n=m（n+2）=k，
解得n=2m，则D的坐标是（m，2m+2），
设直线AD解析式为y=ax+b，将A、D两点坐标代入得

-a+b=0①  ma+b=2m+2②

，
由①得：a=b，代入②得：mb+b=2m+2，
即b（m+1）=2（m+1），解得b=2，
则

a=2  b=2

，
∴y=2x+2，
∴E（0，2），BE=4，
∴S_△ABE=

1

2

×BE×AO=2，
∵S_{四边形BCDE}=7S_△ABE=7×

1

2

×4×1=14，
∵S_{四边形BCDE}=S_△ABE+S_{四边形BEDM}=14，
即2+4×m=14，
解得：m=3，
∴n=2m=6，
∴k=（m+1）n=4×6=24．
故答案为：24．

点评：本题考查了反比例函数的综合运用．关键是通过作辅助线，将图形分割，寻找全等三角形，利用边的关系设双曲线上点的坐标，根据面积关系，列方程求解．