Question

如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上，且BC=CD，或C作CE⊥AD，交AD延长线于E，交AB延长线于F点，
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AB=6，AE=4.8，求CF长；
（3）若AB=4ED，求cos∠ABC的值．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）要证EF是⊙O的切线，只要证∠OCE=90°，根据OC=OA得到∠OCA=∠OAC，再证∠OCA=∠OAC，从而证∠OCA+∠ECA=90°．
（2）证△COF∽△EAF根据对应边成比例求出OF的长，再根据勾股定理求出CF．
（3）先证△CDE∽△ABC得到对应边成比例，由AB=4DE，BC=CD得到BC=

1

2

AB，从而求出cos∠ABC=

BC

AB

．

解答：（1）证明：连接OC、AC
∵CE⊥AD
∴∠EAC+∠ECA=90°
∵OC=OA
∴∠OCA=∠OAC
又∵BC=CD
∴∠OAC=∠EAC
∴∠OCA=∠EAC
∴∠ECA+∠OCA=90°
∴EF是⊙O的切线．


（2）解：∵EF是⊙O的切线
∴∠OCF=90°
又∵∠AEF=90°∠EFA=∠CFO
∴△COF∽△EAF
∴

OC

AE

=

OF

AF

即

3

4.8

=

OF

OF+3

解得：OF=5
在Rt△OCF中
CF=

OF2-OC2

=

52-32

=4

（3）解：∵EF是⊙O的切线
∴∠ECD=∠EAC
又∵BC=CD
∴∠EAC=∠BAC
∴∠ECD=∠BAC
又∵AB是直径
∴∠BCA=90°
在△BAC和△DCE中
∠BCA=∠DEC=90°
∠ECD=∠CAB
∴△CDE∽△ABC
∴

CD

DE

=

AB

BC

又∵AB=4DE，CD=BC
∴

BC

1 4 AB

=

AB

BC

∴BC=

1

2

AB
∴cos∠ABC=

BC

AB

=

1

2

点评：考查了切线的判定，这道题主要利用切线的判定定理来证明EF是⊙O的切线，并且利用相似三角形的性质来求线段的长度．