Question

已知△ABC中，∠A=α．在图（1）中∠B、∠C的角平分线交于点O₁，则可计算得∠BO₁C=90°+；在图（2）中，设∠B、∠C的两条三等分角线分别对应交于O₁、O₂，则∠BO₂C=    ；请你猜想，当∠B、∠C同时n等分时，（n-1）条等分角线分别对应交于O₁、O₂，…，O_n-1，如图（3），则∠BO_n-1C=    （用含n和α的代数式表示）．

Answer 1

【答案】分析：根据三角形的内角和等于180°用α表示出（∠ABC+∠ACB），再根据三等分的定义求出（∠O₂BC+∠O₂CB），在△O₂BC中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解；
根据三角形的内角和等于180°用α表示出（∠ABC+∠ACB），再根据n等分的定义求出（∠O_n-1BC+∠O_n-1CB），在△O_n-1BC中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解．
解答：解：在△ABC中，∵∠A=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-α，
∵O₂B和O₂C分别是∠B、∠C的三等分线，
∴∠O₂BC+∠O₂CB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-α）=120°-α；
∴∠BO₂C=180°-（∠O₂BC+∠O₂CB）=180°-（120°-α）=60°+α；

在△ABC中，∵∠A=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-α，
∵O_n-1B和O_n-1C分别是∠B、∠C的n等分线，
∴∠O_n-1BC+∠O_n-1CB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-α）=-．
∴∠BO_n-1C=180°-（∠O_n-1BC+∠O_n-1CB）=180°-（-）=+．
故答案为：60°+α；+．
点评：本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，以及三等分线，n等分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．