Question

8．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C是$\widehat{BF}$的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，交AF的延长线于点E．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，如图，利用切线的性质得OC⊥DE，再利用圆周角定理得到∠BAC=∠EAC，加上∠BAC=∠OCA，所以∠EAC=∠OCA．则OC∥AE，从而得到AE⊥DE；
（2）连接BF交OC于G，如图，利用圆周角定理得到∴∠BFA=90°．易得四边形CEFG是矩形．则CO⊥BF，CF=GF，利用垂径定理得到BG=GF，再在Rt△ABF中利用含30度的直角三角形三边的关系得到BF=$\sqrt{3}$AF=4$\sqrt{3}$，则BG=GF=2$\sqrt{3}$，从而得到CE的长．

解答 （1）证明：连接OC，如图，
∵DE切⊙O于C，
∴OC⊥DE，
∵点C是$\widehat{BF}$的中点，
∴∠BAC=∠EAC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠EAC=∠OCA．
∴OC∥AE．
∴AE⊥DE；
（2）解：连接BF交OC于G，如图，
∵AB是⊙O直径，
∴∠BFA=90°．
易得四边形CEFG是矩形．
∴CO⊥BF，CF=GF，
∴BG=GF，
在Rt△ABF中，∠BAE=60°，AF=4，
∴BF=$\sqrt{3}$AF=4$\sqrt{3}$，
∴BG=GF=2$\sqrt{3}$
∴CE=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．