如图.在平面直角坐标系中有等腰Rt△ABC.∠A=90°.AB=AC.A．(1)求n的值,(2)将△ABC沿x轴的正方向平移.在第一象限内B.C两点的对应点是B′.C′.B′.C′是否正好落在某反比例函数图象上?若能请求出这个反比例函数解析式.并求出向右平移几个单位.若不能.请说明理由,(3)连接B′.C′.直线B′C′交y轴于点G．问在线段OA′上是否存在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．

如图，在平面直角坐标系中有等腰Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（-2，0），B（0，1），C（n，2）．
（1）求n的值；
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B，C两点的对应点是B′，C′，B′，C′是否正好落在某反比例函数图象上？若能请求出这个反比例函数解析式，并求出向右平移几个单位，若不能，请说明理由；
（3）连接B′，C′，直线B′C′交y轴于点G．问在线段OA′上是否存在点P，使得四边形OPC′G的面积等于$\frac{11}{2}$？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

分析（1）由A、B、C三点的坐标可表示出AB和AC的长，可得到关于n的方程，可求得n的值；
（2）可设平移m个单位，则可表示出B′、C′的坐标，设反比例函数解析式为y=$\frac{k}{x}$，代入可得到关于k、m的方程组，可求得k、m的值；
（3）由B′、C′的坐标可求得直线B′C′的解析式，可求得G点坐标，连接OC′，可求得△OC′G的面积，设P（a，0），连接PC′，则可表示出△OPC′的面积，可得到a的方程，可求得a的值，求得P点坐标．

解答解：
（1）∵A（-2，0），B（0，1），C（n，2），
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{（n+2）^{2}+{2}^{2}}$，
∵AB=AC，
∴$\sqrt{5}$=$\sqrt{（n+2）^{2}+{2}^{2}}$，解得n=-3或n=-1（不能构成直角三角形，舍去），
∴n的值为-3；
（2）能．理由如下：
假设将△ABC向右平移m个单位，则B′（m，1），C′（m-3，2），
设反比例函数解析式为y=$\frac{k}{x}$，把B′、C′两咪的坐标代入得$\left\{\begin{array}{l}{1=\frac{k}{m}}\\{2=\frac{k}{m-3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=6}\\{k=6}\end{array}\right.$，
∴B′（6，1），C′（3，2），
∴将△ABC向右平移6个单位，B′、C′正好落在反比例函数y=$\frac{6}{x}$的图象上；
（3）设直线B′C′的解析式为y=k′x+b，
把B′、C′两点的坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{6k′+b=1}\\{3k′+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k′=-\frac{1}{3}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线B′C′的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+3，令x=0可得y=3，
∴G（0，3），则OG=3，
如图，连接OC′、PC′，

∴S_△OGC′=$\frac{1}{2}$×3×3=$\frac{9}{2}$，S_△OPC′=$\frac{1}{2}$×a×2=a，
∴S_{四边形OPC′G}=S_△OGC′+S_△OPC′=$\frac{9}{2}$+a，
∴$\frac{9}{2}$+a=$\frac{11}{2}$，解得a=1，此时P点坐标为（1，0），
∴存在点P（1，0），使得四边形OPC′G的面积等于$\frac{11}{2}$．

点评本题为二次函数的综合应用，涉及勾股定理、平移的性质、待定系数法、三角形的面积、方程思想等知识．在（1）中利用勾股定理得表示出AB、AC的长是解题的关键，在（2）中用m表示出B′、C′的坐标是解题的关键，在（3）中表示出四边形OPC′G的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．