Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．（1）试说明：∠AOC=2∠ACD；
（2）若圆的半径为5，AD=2，试求AC的长．

Answer 1

分析：（1）首先连接BC，易证得∠B=∠ACD，继而证得：∠AOC=2∠ACD；
（2）易证得△ACD∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解答：（1）证明：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OCA+∠B=90°，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠ACD+∠OCA=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵∠AOC=2∠B，
∴∠AOC=2∠ACD；

（2）解：∵圆的半径为5，
∴AB=10，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠BCD=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△ABC，
∴AB：AC=AC：AD，
∴AC=

AB•AD

=

10×2

=2

5

．

点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．