Question

【题目】如图，A、B是函数y＝上两点，P为一动点，作PB∥y轴，PA∥x轴，下列说法：①△AOP≌△BOP；②S△AOP＝S△BOP；③若OA＝OB，则OP平分∠AOB；④若S△BOP＝2，则S△ABP＝4，正确有____（填序号）

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

由点P是动点，可判断出①错误，设出点P的坐标，求出AP、BP的长，再利用三角形面积公式计算即可判断出②；利用角平分线定理的逆定理可判断③；先求出矩形OMPN=2，进而得出mn=4，最后用三角形的面积公式解答即可．

解：∵点P是动点，

∴BP与AP不一定相等，

∴△BOP与△AOP不一定全等，故①不正确；

设P（m，n），

∵BP∥y轴，

∴B（m, ），A(，n)

∴AP=|-m|

∴S△AOP=·|6-m|n= |6-mn |

同理：S△BOP=·|-n|m= |6-mn |

∴S△AOP＝S△BOP；

故②正确；

如图，过点P作PF⊥OA于F，PE⊥OB于E，

∴S△BOP=OB·PE，S△AOP=OA·PF

∵S△BOP =S△AOP

∴OB·PE= OA·PF

∵OA=OB，

∴PE=PF，

∵PE⊥OB，PF⊥OA

∴OP是∠AOB的平分线，故③正确；

如图，延长BP交x轴于N，延长AP交轴于M，

∴AM⊥y轴，BN⊥x轴，

∴四边形OMPN是矩形，

∵点A，B在双曲线y=上，

∴S△AMO=S△ONB=3，

∵S△BOP=2，

∴S△PMO= S△PNO=1，

∴S矩形OMPN=2，

∴mn=2，

∴m=

∴，

∴故④正确；

故答案为②③④．