Question

3．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=60°，D、E分别为$\widehat{AB}$和$\widehat{AC}$的中点，连结DE．
（1）求证：BC=DE；
（2）若tan∠ADE=$\frac{1}{2}$，求sin∠AED的值．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理得到∠E=$\frac{1}{2}$∠C，∠D=$\frac{1}{2}∠$B，求得∠D+∠E=60°，推出$\widehat{BC}=\widehat{DE}$，即可得到结论；
（2）由∠D+∠E=60°，得到tan（∠D+∠E）=tan60°=$\sqrt{3}$，根据tan（∠D+∠E）=$\frac{tan∠D+tan∠E}{1-tan∠D•tan∠E}$=$\frac{\frac{1}{2}+tan∠E}{1-\frac{1}{2}tan∠E}$=$\sqrt{3}$，解得：tan∠AED=1-2$\sqrt{3}$，将上式两边平方得求得sec∠AED=$\sqrt{14-4\sqrt{3}}$，即可得到结论．

解答 解：（1）∵D、E分别为$\widehat{AB}$和$\widehat{AC}$的中点，
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠C，∠D=$\frac{1}{2}∠$B，
∵∠BAC=60°，
∴∠B+∠C=120°，
∴∠D+∠E=60°，
∴$\widehat{DE}$的度数=120°，
∵$\widehat{BC}$的度数=120°，
∴$\widehat{BC}=\widehat{DE}$，
∴BC=DE；

（2）∵∠D+∠E=60°，
∴tan（∠D+∠E）=tan60°=$\sqrt{3}$，
∴tan（∠D+∠E）=$\frac{tan∠D+tan∠E}{1-tan∠D•tan∠E}$=$\frac{\frac{1}{2}+tan∠E}{1-\frac{1}{2}tan∠E}$=$\sqrt{3}$，
解得：tan∠AED=1-2$\sqrt{3}$，
将上式两边平方得tan²∠AED=13-4$\sqrt{3}$，
∴sec²∠AED=tan²∠AED+1=14-4$\sqrt{3}$，
∴sec∠AED=$\sqrt{14-4\sqrt{3}}$，
∴sin∠AED=$\frac{1}{sec∠AED}$=$\frac{1}{\sqrt{14-4\sqrt{3}}}$．

点评 本题考查了三角形的外接圆和外心，圆周角定理，锐角三角函数，熟练锐角三角函数的定义是解题的关键．