题目内容

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（ $数学公式$ ，1）关于x轴的对称点为C，AC与x轴交于点B，将△OCB沿OC翻折后，点B落在点D处．
（1）求点C、D的坐标；
（2）求经过O、D、B三点的抛物线的解析式；
（3）若抛物线的对称轴与OC交于点E，点P为线段OC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q．
①当四边形EDQP为等腰梯形时，求出点P的坐标；
②当四边形EDQP为平行四边形时，直接写出点P的坐标．

解：（1）∵点A（ $\text{[math]}$ ，1）关于x轴的对称点为C，AC与x轴交于点B，
∴AC⊥x轴于B，B（ $\text{[math]}$ ，0），C（ $\text{[math]}$ ，-1）．
∴BC=AB=1，OB= $\text{[math]}$ ．
∴OC=2，∠1=30°，∠3=60°，
由题意知：∠2=∠1=30°，OD=OB= $\text{[math]}$ ，
∴∠NOD=30°．
过点D作DM⊥x轴于M，DN⊥y轴于N，
在Rt△OND中，DN= $\text{[math]}$ OD= $\text{[math]}$ ，ON= $\text{[math]}$ DN= $\text{[math]}$ ．
由矩形ONDM得：OM=DN= $\text{[math]}$ ．
∵点D在第四象限，
∴D（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）．

（2）设经过O、D、B三点的抛物线的解析式为：y=ax²+bx．
依题意，得： $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ；
∴此抛物线的解析式为：y=2x²-2 $\text{[math]}$ x．

（3）∵y=2x²-2 $\text{[math]}$ x=2（x- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ ，
∴点D为抛物线的顶点．
∴直线DM为抛物线的对称轴，交OC于E，由题意可知：∠4=∠3=60°，∠ODC=90°；
∴∠OEM=60°，
∴∠6=60°，
∴∠7=60°，
∴△EDC是等边三角形，∠8=30°．
∴CE=DE=OE= $\text{[math]}$ OC=1．
①当点P₁在EC上时，四边形EDQ₁P₁为等腰梯形．
∵DM∥y∥P₁Q₁，EP₁与DQ₁不平行，
∴四边形EDQ₁P₁为梯形．
要使梯形EDQ₁P₁为等腰梯形，只需满足∠EDQ₁=∠6=60°．
∵∠7=60°，
∴点Q₁在DC上．
由C（ $\text{[math]}$ ，-1）、D（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）求得直线CD的解析式为y= $\text{[math]}$ x-2．
又∵点Q₁在抛物线上，
∴2x²-2 $\text{[math]}$ x= $\text{[math]}$ x-2，
解得x₁= $\text{[math]}$ ，x₂= $\text{[math]}$ （与点D重合，舍去）；
∴点P₁的横坐标为 $\text{[math]}$ ．
由（0，0）、C（ $\text{[math]}$ ，-1）求得直线OC的解析式为y=- $\text{[math]}$ x．
∵点P₁在OC上，
∴y=- $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
即P₁（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）．
②当点P₂在OE上时，四边形EDQ₂P₂为平行四边形，此时P₂点坐标为P₂（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）．
综上所述：当P₁（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）时，EDQ₁P₁为等腰梯形；
当P₂（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）时，EDQ₂P₂为平行四边形．
分析：（1）由于A、C关于x轴对称，则它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数，由此可求得C点的坐标，进而可求得OB、BC的长以及∠BOC的度数，由于△OCD是由△OCB翻折所得，故∠COD=∠COB，OB=OD，如果过D分别作x轴、y轴的垂线，设垂足为M、N，即可求得∠NOD的度数，在Rt△OND中，通过解直角三角形，即可求得点D的坐标．
（2）已求得B、D的坐标，用待定系数法求解即可．
（3）根据（2）题所得抛物线的解析式可知点D即为抛物线的顶点，那么只需DE就是抛物线的对称轴；在（1）题中求得∠OCB=∠OCD=60°，根据D点的坐标知∠DOC=∠ODM=30°，那么∠MDC=60°，即△CDE为等边三角形，由此可求得DE=OE=CE=1；
①若四边形EDQP是等腰梯形，那么点P在线段CE上，由于∠CDE=∠CED=60°，且P在CE上，若四边形EDQP是等腰梯形，那么点Q必在线段CD上，即Q为直线CD与抛物线的交点，由此可求出点Q的坐标，将其横坐标代入直线OC的解析式中，即可求得点P的坐标；
②若四边形EDQP是平行四边形，那么点P必在线段OE上，此时PQ=DE=1，而PQ为直线OC与抛物线函数值的差，由此可列出关于点P横坐标的方程，进而可求得点P的坐标．
点评：此题考查了关于x轴对称的点的坐标特征、图形的翻折变换、二次函数解析式的确定、等腰梯形及平行四边形的判定等知识，综合性强，难度偏大．