题目内容
如图四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。
（1）如图，当点E在AB边的中点位置时：
①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ；
②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ；
③请证明你的上述两猜想；
（2）如图，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想并证明此时DE与EF有怎样的数量关系。
（1）①DE=EF；②NE=BF；③根据正方形的性质及N，E分别为AD，AB的中点可得DN=EB，再根据角平分线的性质及AN=AE可得∠DNE=∠EBF=135°，再根据同角的余角相等证得∠NDE=∠BEF，即可证得△DNE≌△EBF，从而证得结论；（2）DE=EF
【解析】
试题分析：（1）根据正方形的性质及N，E分别为AD，AB的中点可得DN=EB，再根据角平分线的性质及AN=AE可得∠DNE=∠EBF=135°，再根据同角的余角相等证得∠NDE=∠BEF，即可证得△DNE≌△EBF，从而证得结论；
（2）在DA边上截取DN=EB，连结NE，点N就使得NE=BF成立，由DN=EB可得AN=AE，根据角平分线的性质可得∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°，再根据同角的余角相等证得∠NDE=∠BEF，即可证得△DNE≌△EBF，从而证得结论.
（1）①DE=EF；
②NE=BF；
③∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，
∴DN=EB
∵BF平分∠CBM，AN=AE，
∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°
∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，
∴∠NDE=∠BEF
∴△DNE≌△EBF
∴DE=EF；
（2）在DA边上截取DN=EB，连结NE，点N就使得NE=BF成立，此时，DE="EF"
∵DN="EB"
∴DA-DN="AB-BE" 即AN=AE
∵BF平分∠CBM，AN=AE，
∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°
∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，
∴∠NDE=∠BEF
∴△DNE≌△EBF
∴ DE=EF，NE=BF.
考点：动点问题的综合题
点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.
如图四边形ABCD是一块草坪，量得四边长AB=3m，BC=4m，DC=12m，AD=13m，∠B=90°，求这块草坪的面积．
如图四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若再增加一个条件，就可使四边形ABCD成为等腰梯形，你所增加的条件是（只写出一个条件，图中不再增加其他的字母和线段．（给出证明）
如图四边形ABCD是用7根相同的火柴棒首尾顺次相接围成的梯形，设火柴棒的长度为1，延长AD、BC交于P，若这7根火柴全部保持原位置不动，在PD、PC处能否再添加几根与前面完全相同的火柴棒，使添加的火柴棒在全部用完且不可折的条件下刚好首尾相接拼成△PAB？若不能拼成，请求出梯形ABCD的面积；若能拼成，请求出所添加的火柴棒的总根数，并求出△PDC和△PAB的面积比．
（ ）
如图四边形ABCD是正方形，点E、F分别在线段BC、DC上，∠BAE=30°．若线段AE绕点A逆时针旋转后与线段AF重合，则旋转的角度是（ ）