Question

【题目】已知：为直线 上的一点，以为观察中心，射线表示正北方向，表示正东方向（即），射线，射线的方向如各图所示．

（1）如图1所示，当 时：

①若，则射线的方向是 ．

② 与 的关系为 ，

③ 与 的关系为 ．

（2）若将射线，射线绕点旋转至图的位置，另一条射线恰好平分，旋转中始终保持．

①若，则 度 .

②若，则 （用含 的代数式表示）．

（3）若将射线，射线绕点旋转至图的位置，射线仍然平分，旋转中始终保持，则与之间存在怎样的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①北偏东20°；②相等；③互补.（2）①24°；②2β.（3）∠CON=2∠AOF，理由见解析.

【解析】

（1）①根据方向角的定义即可求解；②根据同角的余角相等即可得出结论；③先根据同角的余角相等得出∠EON=∠BOC,再根据两角互补的定义即可得出结果.
（2）①根据同角的余角可知∠AOC=∠MOE，又根据角平分线的定义可得∠COF=∠MOF，两式相减即可得出结果.②由①知∠AOF=∠EOF=β，又由∠CON=∠AOE即可得出结果.
（3）根据角的和差，以及角平分线的定义即可求解．

解：（1）①北偏东20°

②∵由题意知，∠AOE+∠EON=90°，∠NOC+∠EON=90°，

∴∠AOE=∠CON.

③由题意知，∠BOC+∠NOC=90°，∠NOC+∠EON=90°，

∴∠BOC=∠EON,

又∠AOC+∠BOC=180°，

∴∠AOC+∠EON=180°.

故答案为：①北偏东20°；②相等；③互补.

（2）①由题意知，∠AOC+∠AOE=90°，∠MOE+∠AOE=90°，

∴∠AOC=∠MOE,

又OF为∠COM的角平分线，

∴∠COF=∠MOF,

∴∠COF-∠AOC =∠MOF-∠MOE，

∴∠AOF=∠EOF=24°.

②由①知，∠AOF=∠EOF=β，

∴∠CON=∠AOE=2∠AOF=2β.

故答案为：①24°；②2β.

（3）∵∠CON=180°-∠COM=180°-2∠MOF.

又∠AOF=90°-∠MOF,∴2∠AOF=180°-2∠MOF.

∴∠CON=2∠AOF.