题目内容
【题目】如图1,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90,F是AC边上的一个动点(点F与A. C不重合)，以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD.
(1)猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；
(2)将图1中的正方形CDEF,绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2的情形。图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断（1）中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断。
(3)将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC,∠ACB=90,正方形CDEF改为矩形CDEF,如图3,且AC=4,BC=3,CD=
,CF=1,BF交AC于点H,交AD于点O,连接BD、AF,求BD2+AF2的值。
【答案】(1) BF=AD，BF⊥AD；(2) BF=AD，BF⊥AD仍然成立,理由见解析;(3)
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【解析】分析：(1)可由SAS证得△BCF≌△ACD得到BF＝AD，BF⊥AD；(2)与(1)中的方法相同；(3)证△BCF∽△ACD，得BO⊥AD，再利用勾股定理求解.
详解：(1)BF＝AD，BF⊥AD；
(2)BF＝AD，BF⊥AD仍然成立，
证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90，∴AC＝BC，
∵四边形CDEF是正方形，∴CD＝CF，∠FCD＝90，
∴∠ACB＋∠ACF＝∠FCD＋∠ACF，即∠BCF＝∠ACD，
在△BCF和△ACD中
BC＝AC，∠BCF＝∠ACD，CF＝CD，
∴△BCF≌△ACD(SAS)，∴BF＝AD，∠CBF＝∠CAD，
又∵∠BHC＝∠AHO，∠CBH＋∠BHC＝90，
∴∠CAD＋∠AHO＝90，∴∠AOH＝90，
∴BF⊥AD；
(3)证明：连接DF，
∵四边形CDEF是矩形，∴∠FCD＝90，
又∵∠ACB＝90，∴∠ACB＝∠FCD
∴∠ACB＋∠ACF＝∠FCD＋∠ACF，即∠BCF＝∠ACD，
∵AC＝4，BC＝3，CD＝
，CF＝1，∴BC:AC＝CF:CD＝3:4，
∴△BCF∽△ACD，∴∠CBF＝∠CAD，
又∵∠BHC＝∠AHO，∠CBH＋∠BHC＝90
∴∠CAD＋∠AHO＝90，∴∠AOH＝90，∴BF⊥AD，
∴∠BOD＝∠AOB＝90，
∴BD2＝OB2＋OD2，AF2＝OA2＋OF2，AB2＝OA2＋OB2，DF2＝OF2＋OD2，
∴BD2＋AF2＝OB2＋OD2＋OA2＋OF2＝AB2＋DF2，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90，AC＝4，BC＝3，
∴AB2＝AC2＋BC2＝32＋42＝25，
∵在Rt△FCD中，∠FCD＝90，CD＝，CF＝1，
∴DF2＝CD2＋CF2＝()2＋12＝
，
∴BD2＋AF2＝AB2＋DF2＝25＋
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