Question

如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，O为CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E，过E作EH⊥AB于H，已知⊙O与AB边相切于F。

（1）求证：OE∥AB。（4分）

（2）求证：EH=AB。（3分）

（3）已知，求的值。（3分）

Answer 1

（1）(4分)证明：∵ABCD为等腰梯形且AD//BC  ∴∠B=∠C  ∵OE=OC   ∴∠C=∠OEC

∴∠OEC=∠B    ∴OE//AB

（2）(3分)证明：连结FO，∵AB切 ⊙O于F  ∴AB⊥FO   ∵EH⊥AB，OE//AB 

∴OE⊥EH  ∴OFHE为矩形   ∵OE=OF   ∴OFHE为正方形   ∴EH=EO

∵O为CD中点，OC为⊙O半径， ∴CD为⊙O直径  ∴EO=CD  ∴EH=CD

∵ABCD为等腰梯形   ∴CD=AB    ∴EH=AB

（3）(3分)解：作OM⊥BC于点M，∵EH⊥AB，OM⊥BC   ∴∠BHE＝∠OME=90°

∵∠OEC=∠B   ∴△BHE∽△EMO   ∴  ∴

∵EO=CO,  OM⊥BC  ∴EM=CE  ∴    ∴CE=

∵ ∴可设BH=K，BE=4K  在Rt△BHE中有：HE=

∵HE=EO  ∴  ∴