题目内容

如图，一次函数y= $数学公式$ x-2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）P为线段AB上的点，过P作PQ∥OB交x轴于点C，交反比例函数 $数学公式$ （k＞0）
的图象于点Q，已知四边形OBPQ为平行四边形，△OQC的面积为3．
①求k的值和点P的坐标；
②连接OP，将△OBP绕点O逆时针旋转一周，在整个旋转过程中，点P能否落在反
比例函数 $数学公式$ 的图象上？请你说明理由．

解：（1）∵一次函数y= $\text{[math]}$ x-2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴当图象与x轴相交，y=0时，0= $\text{[math]}$ x-2，解得：x=4，
当图象与y轴相交，x=0时，y=-2，
故A（4，0），B（0，-2）；

（2）①∵△OQC的面积为3，∴OC×CQ=6，∴k=6，
在平行四边形OBPQ中，OB∥QP，OB=QP，OQ∥AB，
∴∠QCO=∠BOA，∠QOC=∠BAO，
∴△QCO∽△BOA，
∴ $\text{[math]}$ ，∴OC=2QC，
∵OC×CQ=6，
∴QC= $\text{[math]}$ OC=2 $\text{[math]}$ ，

∴点P的坐标为（2 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ -2），

②在Rt△OCP中， $\text{[math]}$ ，
作第一象限角的角平分线OD，交反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象于点D，
则OD的长是点O到反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上各点的最短距离，
过点D作DE⊥OA于点E，
则xy=k=OE²=6，∴OD²=12，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴OP＞OD，
∴旋转后点P′能在反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上．
分析：（1）利用图象与坐标轴交点坐标求法分别求出A，B两点坐标即可；
（2）①根据△OQC的面积为3，得出OC×CQ=6，即可得出k=6，再利用△QCO∽△BOA，得出QC与OC的长，即可得出P点坐标；
②作第一象限角的角平分线OD，交反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象于点D，首先得出OE²=6，以及OD²=12，进而得出OP＞OD，即可得出答案．
点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质和勾股定理等知识，根据已知得出OE²=6，OP＞OD是解题关键．