Question

如图，在平面直角坐标系中．点O为坐标原点，直线y=

3

4

x+6与x轴交于点A，与y轴交于点C，点B为x轴正半轴上一点，∠CAB=∠OCB．点E从A点出发沿AC反方向运动，点F从B点出发沿BC方向运动，两点同时出发，速度均为1个单位/秒，设运动时间为t秒．
（1）求直线BC的解析式；
（2）连接EF，将射线EF绕点E顺时针旋转45°，交直线BC于点Q，过点F作FM⊥EQ，垂足为M，连接MC，求MC的长；
（3）在（2）的条件下，t为何值时FC=

1

5

FQ．直接写出t的值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据y=

3

4

x+6与x轴交于点A，与y轴交于点C，求出OA=8，OC=6，设OB=a，根据

OC

OA

=

OB

OC

，求出a，得出点B的坐标，再把B、C两点的坐标代入y=kx+b即可得出答案；
（2）过点M作MK⊥FC交AC于点K，根据∠EMK=∠FMC，∠FEM=∠MCF，ME=MF，证出△MEK≌△MFC，得出∠MCK=∠MKC=45°，再求出AC=10，BC=

15

2

，从而得出CE=10-t，CF=

15

2

-t，再求出CK=CE-EK=

35

2

，最后根据

2

CM=CK，即可得出CM的长；
（3）以CA，CB分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则A（10，0），B（0，

15

2

），E（10+t，0），F（0，

15

2

-t），求得EF的斜率k₁=

t- 15 2

t+10

=

2t-15

2t+20

，又知EQ到EF的角为 45°，求得EQ的斜率k₂ 满足 tan45°=

k1-k2

1+k1k2

=1，即k₂=

k1-1

k2+1

=

2t-15 2t+20 -1

2t-15 2t+20 +1

=

-35

4t+5

  令Q（0，h）又有k₂=

h

-10-t

=

-35

4t+5

，解之得h=

350+35t

4t+5

，由CQ=6CF，则

350+35t

4t+5

=6（

15

2

-t） 整理得24t²-115t+125=0即可解得．

解答：解：（1）∵y=

3

4

x+6与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴A（-8，0），C（0，6），
∴OA=8，OC=6，
设OB=a，
∵∠CAB=∠OCB，
∴tan∠CAB=tan∠OCB，
∴

OC

OA

=

OB

OC

=

6

8

，
∴

6

8

=

a

6

，
∴a=

9

2

∴B（

9

2

，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B、C两点的坐标代入y=kx+b得：

6=b 0= 9 2 k+b

，
解得：

k=- 4 3 b=6

，
∴直线BC的解析式为y=-

4

3

x+6；

（2）过点M作MK⊥MC交AC于点K，
∵∠EMF=∠KMC=90°，
∴∠EMK=∠FMC，
∵∠CAB=∠OCB
∴∠CAB+∠ACO=∠OCB+∠ACO=90°
∴∠ACB=90°，
∵∠CKM+∠KCM=∠KCM+∠MCF=90°
∴∠CKM=∠MCF，
∵∠MEF=∠45°，FM⊥EM，
∴EM=FM
在△MEK和△MFC中，

∠CKM=∠MCF EM=FM ∠EMK=∠FMC

∴△MEK≌△MFC（AAS），
∴EK=CF  MK=MC，
∴∠MCK=∠MKC=45°，
∵OC=6，OA=8，OB=

9

2

，
∴AC=10，BC=

15

2

，
∴CE=10+t，CF=

15

2

-t，
∴CK=CE+EK=10+t+（

15

2

-t）=

35

2

，
∴

2

CM=CK=

35

2

，
∴CM=

35 2

4

．


（3）在（2）的条件下，t=

5

3

或

25

8

时，FC=

1

5

FQ

点评：本次考查的是一次函数的综合应用，用的知识点是一次函数的图象和性质、全等三角形的全等与性质，解题时注意分类讨论思想的应用．