题目内容
【题目】如图1，在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在线段CD上运动，将线段QA绕点Q顺时针旋转，使得点A的对应点E落在射线BC上，连接BQ，设∠DAQ=α
（0°＜α＜60°且α≠30°）.
（1）当0°＜α＜30°时，
①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE（用含α的式子表示）；
②探究线段CE，AC，CQ之间的数量关系，并加以证明；
（2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE，AC，CQ之间的数量关系.
【答案】（1）①
；②CE+AC＝
；（2）CE－AC＝，理由见解析
【解析】(1) ①根据旋转的性质及等边三角形的对称性可得QA=QB，再由QB=QE可得
；②延长CA到点F，使得AF=CE，连接QF，作QH⊥AC于点H，
（1）当0°＜α＜30°时，由∠BQE=60°+2α可得∠QEC=120°+α，再利用△QAF≌△QEC可得QF=QC，由等腰三角形三线合一的性质可得∠ACQ =30°，得到△QCF为等腰三角形，再利用解直角三角形即可得出结果;(2)由旋转的性质可得线段CE，AC，CQ之间的数量关系.
①画出的图形如图9所示．
∵ △ABC为等边三角形，
∴ ∠ABC=60°．
∵ CD为等边三角形的中线，
Q为线段CD上的点，
由等边三角形的对称性得QA=QB．
∵ ∠DAQ=α，
∴ ∠ABQ=∠DAQ=α，∠QBE=60°-α．
∵ 线段QE为线段QA绕点Q顺时针旋转所得，
∴ QE = QA．
∴ QB=QE．
可得 
．
②
．
证法一：如图10，延长CA到点F，使得AF=CE，连接QF，作QH⊥AC于点H．
∵ ∠BQE=60°+2α，点E在BC上，
∴ ∠QEC=∠BQE+∠QBE =(60°+2α)+( 60°-α)=120°+α．
∵ 点F在CA的延长线上，∠DAQ=α，
∴ ∠QAF=∠BAF+∠DAQ=120°+α．
∴ ∠QAF=∠QEC．
又∵ AF =CE，QA=QE，
∴ △QAF≌△QEC．
∴ QF=QC．
∵ QH⊥AC于点H，
∴ FH=CH，CF=2CH．
∵ 在等边三角形ABC中，CD为中线，
点Q在CD上，
∴ ∠ACQ=
=30°，
即△QCF为底角为30°的等腰三角形．
∴ 
．
∴ 
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．
即．
思路二：如图11，延长CB到点G，使得BG=CE，连接QG，可得
△QBG≌△QEC，△QCG为底角为30°的等腰三角形，与证法一
同理可得
．
（2）如图12，当30°＜α＜60°时，
．
第1卷单元月考期中期末系列答案
