Question

已知：a+b+c=0，则求：(

b-c

a

+

c-a

b

+

a-b

c

)•(

c

a-b

+

a

b-c

+

b

c-a

)的值．

Answer 1

分析：将a+b+c=0转化为a³+b³+c³=3abc，将(

b-c

a

+

c-a

b

+

a-b

c

)•(

c

a-b

+

a

b-c

+

b

c-a

)经通分，分解因式，合并同类项转化为

= (b-c)(a-b)(a-c) abc • -2(a3+b3+c3)-3abc (a-b)(b-c)(c-a)

，再将a³+b³+c³=3abc代入上式，至此问题得以解决．

解答：解：∵a+b+c=0
∴a+b=-c，a+c=-b，b+c=-a
则原式为：
[

ab(a-b)+bc(b-c)+ac(c-a)

abc

]•[

c(b-c)(c-a)+a(a-b)(c-a)+b(a-b)(b-c)

(a-b)(c-a)(b-c)

]

= a2b-ab2+b2c-b2c+ac2-a2c abc • c2(-2c2-ab)+a2(2a2-bc)+b2(-2b2-ac) (a-b)(c-a)(b-c) = (b-c)(a-b)(a-c) abc • -2(a3+b3+c3)-3abc (a-b)(b-c)(c-a)

∵a+b+c=0
∴a³+b³+c³=3abc
∴上式=9

点评：本题巧用a³+b³+c³=3abc（当a+b+c=0）这一结论，来解题．同学们对这一结论要会简单推理，灵活运用，在分式化简中经常用到．