Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+6经过点A（-3，0）和点B（2，0）．直线y=h（h为常数，且0＜h＜6）与BC交于点D，与y轴交于点E，与AC交于点F，与抛物线在第二象限交于点G．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接BE，求h为何值时，△BDE的面积最大；

（3）已知一定点M（-2，0）．问：是否存在这样的直线y=h，使△OMF是等腰三角形？若存在，请求出h的值和点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1） y=-x2-x+6．（2） 当h=3时，△BDE的面积最大，最大面积是．（3） 存在这样的直线y=2或y=4，使△OMF是等腰三角形，当h=4时，点G的坐标为（-2，4）；当h=2时，点G的坐标为（，2）．

【解析】

试题分析：（1）由抛物线y=ax2+bx+6经过点A（-3，0）和点B（2，0），利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；

（2）首先利用待定系数法求得经过点B和点C的直线的解析式，由题意可得点E的坐标为（0，h），则可求得点D的坐标为（，h），则可得S△BDE=•OE•DE=•h•

=-（h-3）2+，然后由二次函数的性质，即可求得△BDE的面积最大；

（3）分别从①若OF=OM，则、②若OF=MF，则与③若MF=OM，则去分析求解即可求得答案．

试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+6经过点A（-3，0）和点B（2，0），

∴．

解得：．

∴抛物线的解析式为y=-x2-x+6．

（2）∵把x=0代入y=-x2-x+6，得y=6．

∴点C的坐标为（0，6）．

设经过点B和点C的直线的解析式为y=mx+n，则

，

解得．

∴经过点B和点C的直线的解析式为：y=-3x+6．

∵点E在直线y=h上，

∴点E的坐标为（0，h）．

∴OE=h．

∵点D在直线y=h上，

∴点D的纵坐标为h．

把y=h代入y=-3x+6，得h=-3x+6．

解得x=．

∴点D的坐标为（，h）．

∴DE=．

∴S△BDE=•OE•DE=•h•

=-（h-3）2+．

∵-＜0且0＜h＜6，

∴当h=3时，△BDE的面积最大，最大面积是．

（3）存在符合题意的直线y=h．

设经过点A和点C的直线的解析式为y=kx+p，则

，

解得

．

故经过点A和点C的直线的解析式为y=2x+6．

把y=h代入y=2x+6，得h=2x+6．

解得x=．

∴点F的坐标为（，h）．

在△OFM中，OM=2，OF=，MF=．

①若OF=OM，则，

整理，得5h2-12h+20=0．

∵△=（-12）2-4×5×20=-256＜0，

∴此方程无解．

∴OF=OM不成立．

②若OF=MF，则，

解得h=4．

把y=h=4代入y=-x2-x+6，得-x2-x+6=4，

解得x1=-2，x2=1．

∵点G在第二象限，

∴点G的坐标为（-2，4）．

③若MF=OM，则，

解得h1=2，h2=-（不合题意，舍去）．

把y=h1=2代入y=-x2-x+6，得-x2-x+6=2．

解得x1=，x2=．

∵点G在第二象限，

∴点G的坐标为（，2）．

综上所述，存在这样的直线y=2或y=4，使△OMF是等腰三角形，当h=4时，点G的坐标为（-2，4）；当h=2时，点G的坐标为（，2）．

考点：二次函数综合题．