Question

11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过A、C两点作⊙O交直角边AB于另一点E，交斜边BC于另一点F，直径AD交BC于点G．
（1）求证：AG²=GF•GB；
（2）当D为CF的中点时，AG=4，BF=6，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）连接CD，由AD是⊙O的直径，得到∠D+∠CAD=90°，由于∠CAD+∠DAE=90°，于是得到∠D=∠DAE，根据圆周角定理得到∠D=∠AFC，推出∠DAE=∠AFC，证得△AGF∽△BGA，得到比例式，即可得到结论；
（2）连接CE，根据圆周角定理得到CE是⊙O的直径，由AG²=GF•GB，证得GF=2，根据垂径定理得到AD⊥CF，CG=FG=2，根据射影定理得到CG²=DG•AG，求得DG=1，于是得到结论．

解答 解：（1）连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠D+∠CAD=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAD+∠DAE=90°，
∴∠D=∠DAE，
∵∠D=∠AFC，
∴∠DAE=∠AFC，
∵∠AGF=∠AGF，
∴△AGF∽△BGA，
∴$\frac{AG}{BG}=\frac{GF}{AG}$，
∴AG²=GF•GB；

（2）连接CE，
∵∠BAC=90°，
∴CE是⊙O的直径，
∵AG²=GF•GB，
∴4²=GF（GF+6），
∴GF=2，（负值舍去），
∵D为弧CF的中点，
∴AD⊥CF，CG=FG=2，
∴CG²=DG•AG，
∴DG=1，
∴CE=AD=5，AC=$\sqrt{A{G}^{2}+C{G}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AE=$\sqrt{C{E}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，垂径定理，射影定理，正确的作出辅助线是解题的关键．