Question

【题目】如图，已知半圆⊙O的直径AB＝10，弦CD∥AB，且CD＝8，E为弧CD的中点，点P在弦CD上，联结PE，过点E作PE的垂线交弦CD于点G，交射线OB于点F．

（1）当点F与点B重合时，求CP的长；

（2）设CP＝x，OF＝y，求y与x的函数关系式及定义域；

（3）如果GP＝GF，求△EPF的面积．

Answer 1

【答案】（1）CP＝2；（2）；（3）

【解析】

（1）如图1，连接EO，交弦CD于点H，根据垂径定理得EO⊥AB，由勾股定理计算，可得EH的长，证明∠HPE＝∠HGE＝45°，则PE＝GE．从而可得结论；

（2）如图2，连接OE，证明△PEH∽△EFO，列比例式可得结论；

（3）如图3，作PQ⊥AB，分别计算PE和EF的长，利用三角形面积公式可得结论．

（1）连接EO，交弦CD于点H，

∵E为弧CD的中点，

∴EO⊥AB，

∵CD∥AB，

∴OH⊥CD，

∴CH＝，

连接CO，

∵AB＝10，CD＝8，

∴CO＝5，CH＝4，

∴，

∴EH＝EO﹣OH＝2，

∵点F与点B重合，

∴∠OBE＝∠HGE＝45°，

∵PE⊥BE，

∴∠HPE＝∠HGE＝45°，

∴PE＝GE，

∴PH＝HG＝2，

∴CP＝CH﹣PH＝4﹣2＝2；

（2）如图2，连接OE，交CD于H，

∵∠PEH+∠OEF＝90°，∠OFE+∠OEF＝90°，

∴∠PEH＝∠OFE，

∵∠PHE＝∠EOF＝90°，

∴△PEH∽△EFO，

∴，

∵EH＝2，FO＝y，PH＝4﹣x，EO＝5，

∴，

∴．

（3）如图3，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，

∵GP＝GF，

∴∠GPF＝∠GFP，

∵CD∥AB，

∴∠GPF＝∠PFQ，

∵PE⊥EF，

∴PQ＝PE，

由（2）可知，△PEH∽△EFO，

∴，

∵PQ＝OH＝3，

∴PE＝3，

∵EH＝2，

∴，

∴，

∴，

∴．