Question

【题目】已知在平面直角坐标系中，二次函数（，为常数）的图像顶点的纵坐标为．

（1）直接写出、满足的关系式是______；

（2）若点，（）是二次函数（，为常数）的图像上的两点．

①当，时，求的长度；

②当时，求的长度；

③若存在实数，使得，且成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②；③．

【解析】

（1）由顶点坐标公式可以求出a,b之间的关系；

（2）①当a=-3时，求出二次函数的解析式及m的值，然后求出P,Q的坐标，从而可求出PQ的长；

②首先求出二次函数的解析式，令y=0,求出x的值，从而可求出PQ的值；

③首先求出二次函数的解析式，令y=m,求出x的值，从而可求出PQ的值，再结合得，，则PQ15-2c-(3-2c)，从而求出m的取值范围.；

解：（1）∵二次函数（，为常数）的图像顶点的纵坐标为，

∴.

∴.

（2）①∵，，

∴b=5.

又m=b,

∴二次函数的解析式为，,.

当y=5时，，解得x1=0,x2=6.

∴PQ=6.

②∵，∴b=a2-4.

∴二次函数的解析式为.

当y=0时，∴.

∴[x-(a-2)][x-(a+2)]=0.

∴x=a-2或a+2.

∴PQ==4.

③∵，∴b=a2-4.

∴二次函数的解析式为.

当y=m时，.

∴（x-a）2=4+m.

∴x1=a-,x2=a+.

∴PQ=2.

∵，，

215-2c-(3-2c).

解得.