Question

已知直角坐标平面上点A（2，0），P是函数y=x（x＞0）图象上一点，PQ⊥AP交y轴正半轴于点Q（如图）．
（1）试证明：AP=PQ；
（2）设点P的横坐标为a，点Q的纵坐标为b，那么b关于a的函数关系式是

 

；
（3）当S△AOQ=

2

3

S△APQ时，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据题意，OP平分∠AOQ．故过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为H、T，则PH=PT．进一步可证明△PHA与△PTQ全等解决问题；
（2）四边形OHPT是正方形，且边长为 a．AH=TQ=2-a．根据OQ+TQ=边长a求解；
（3）分别表示相关面积，列方程求解．

解答：解：（1）过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为H、T
∵点P在函数y=x（x＞0）的图象上，
∴PH=PT，PH⊥PT．（1分）
∵AP⊥PQ，
∴∠APH=∠QPT．
又∠PHA=∠PTQ，
∴△PHA≌△PTQ，（1分）
∴AP=PQ．         （1分）

（2）根据题意得 AH=2-a=TQ．
∵OQ+TQ=OT=OH，
∴b+2-a=a，
b=2a-2．
故答案为 b=2a-2．（2分）

（3）由（1）、（2）知，
S△AOQ=

1

2

OA×OQ=2a-2，S△APQ=

1

2

AP2=a2-2a+2，（1分）
∴2a-2=

2

3

(a2-2a+2)，
解得 a=

5± 5

2

，（1分）
所以点P的坐标是(

5- 5

2

，

5- 5

2

)或(

5+ 5

2

，

5+ 5

2

)．（1分）

点评：此题考查一次函数的综合应用，涉及三角形全等的判定与性质、解一元二次方程等知识点，综合性强，难度大．