Question

17．因式分解：
（1）x⁴-2（a²+b²）x²+（a²-b²）²；
（2）（ax+by+ay）²+（by-ay）（ax+by+ay）+（bx-ay）²；
（3）（1+y）²-2x²（1+y²）+x⁴（1-y）²；
（4）abcx²+（a²b²+c²）x+abc
（5）（a-b）x²+2ax+a+b．

Answer 1

分析 （1）利用平方差公式以及完全平方公式分解因式得出即可；
（2）首先利用完全平方公式去括号，进而利用拆项与补项法进而重新分解因式得出即可；
（3）首先补项2x²（1-y²）进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式进而得出答案；
（4）利用提取公因式法分解因式得出即可；
（5）直接利用十字相乘法分解因式得出即可．

解答 解：（1）x⁴-2（a²+b²）x²+（a²-b²）²；
=x⁴-2（a²+b²）x²+（a²+b²）²-4a²b²
=[x²-（a²+b²）]²-（2ab）²
=[（x²-（a-b）²][（x²-（a+b）²]
=（x+a-b）（x-a+b）（x+a+b）（x-a-b）；

（2）（ax+by+ay）²+（bx-ay）（ax+by+ay）+（bx-ay）²
=（ax+by）²+2（ax+by）ay+（ay）²+（bx-ay）（ax+by）+（bx-ay）ay+（bx-ay）²
=[（ax+by）²+（bx-ay）²]+{（ax+by）[2ay+（bx-ay）]}+（ay）[（bx-ay）+ay]
=（x²+y²）（a²+b²）+（ax+by）（bx+ay）+bxay
=（x²+y²）（a²+b²）+abx²+aby²+xya²+xyb²+abxy
=（x²+y²）（a²+b²）+ab（x²+y²）+xy（a²+b²+ab）
=（x²+y²）（a²+b²+ab）+xy（a²+b²+ab）
=（x²+y²+xy）（a²+b²+ab）；

（3）（1+y）²-2x²（1+y²）+x⁴（1-y）²
=（1+y）²+2x²（1-y²）+x⁴（1-y²）-2x²（1-y²）-2x²（1+y²）
=[1+y+x²（1-y）]²-2x²（1-y²+1+y²）
=（x²-x²y+y+1）²-4x²
=（x²-x²y+y+1+2x）（x²-x²y+y+1-2x）
=[（x²+2x+1）-y（x²-1）][（x²-2x+1）-y（x²-1）]
=[（x+1）²-y（x²-1）][（x-1）²-y（x²-1）]
=（x+1）（x+1-xy+y）（x-1）（x-1-xy-y）；

（4）abcx²+（a²b²+c²）x+abc
=abx•cx+abx•ab+cx•c+ab•c
=（abx+c）（cx+ab）；

（5）（a-b）x²+2ax+a+b
=[（a-b）x+a+b]（x+1）
=（ax-bx+a+b ）（x+1）．

点评 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．