Question

7．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦BD的长为6，点C为$\widehat{AB}$上的一点，过点B的切线EF，连接AD，CD，CB；
（1）求证：∠CDB=∠CBF；
（2）若点D为$\widehat{AB}$的中点，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）连结AC，如图，根据圆周角定理得∠ACB=90°，则∠1+∠2=90°，再根据切线的性质得∠2+∠CBF=90°，所以∠1=∠CBF，而根据圆周角定理有∠1=∠CDB，所以∠CDB=∠CBF；
（2）作CM⊥AD于M，CN⊥DB于N，如图，由AB为⊙O的直径得到∠ADB=90°，则根据勾股定理可计算出AD=8，再由点C为$\widehat{AB}$的中点得到∠ADC=∠BDC，则CA=CB，CM=CN，接着证明Rt△ACM≌Rt△BCN得到AM=BN，即AD-AM=DN-BD，所以AM+DN=AD+BD=14，然后利用四边形CMDN为正方形得DM=DN=7，于是CD=$\sqrt{2}$DM=7$\sqrt{2}$．

解答 （1）证明：连结AC，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵EF为⊙O的切线，
∴AB⊥EF，
∴∠ABF=90°，即∠2+∠CBF=90°，
∴∠1=∠CBF，
∵∠1=∠CDB，
∴∠CDB=∠CBF；
（2）解：作CM⊥AD于M，CN⊥DB于N，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵点C为$\widehat{AB}$的中点，
∴∠ADC=∠BDC，
∴CA=CB，CM=CN，
在Rt△ACM和Rt△BCN中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{CM=CN}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACM≌Rt△BCN，
∴AM=BN，即AD-AM=DN-BD，
∴AM+DN=AD+BD=8+6=14，
∵四边形CMDN为矩形，CM=CN，
∴四边形CMDN为正方形，
∴DM=DN=7，
∴CD=$\sqrt{2}$DM=7$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了圆周角定理和等腰直角三角形的性质．