Question

13．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=2∠C，AD=2，BD=1，则CD的长为1+$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 在DC上截DM=DB，则AB=AM，∠B=∠AMB=2∠C=2∠CAM，因此AM=CM，从而CD=DM+MC=AB+BD，再利用勾股定理求出AB的长即可．

解答 解：在DC上截DM=DB，
∵AD⊥BC，DM=BD，
∴AD是BM的垂直平分线，
∴AB=AM（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等），
∴∠B=∠AMB（等边对等角），
∵∠B=2∠C，∠AMB=∠C+∠MAC，
∴∠MAC=∠C，
∴AM=CM，
∴CM=AB，
∴CD=DM+MC=BD+AB，
∵在△ABD中，AD=2，BD=1，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴CD=1+$\sqrt{5}$．
故答案为1+$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，解答本题的关键是添加辅助线证明出CD=DM+MC=BD+AB，此题有一定的难度．