Question

【题目】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．

（1）求证：BD平分∠ABC；

（2）当∠ODB＝30°，BC＝时，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据垂径定理得到弧CD=弧AD，然后根据圆周角定理得∠CBD=∠DBA；
（2）由于∠OBD=∠ODB=30°，则∠ABC=60°，再根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系．可得到直径AB的长，则即可得到圆的半径．

（1）证明：∵OD⊥AC，

∴，

∴∠CBD＝∠DBA，

∴BD平分∠ABC；

（2）∵OD＝OB，

∴∠OBD＝∠ODB＝30°，

∴∠ABC＝60°，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝，

∴AB＝2BC＝2，

∴⊙O的半径为．