题目内容
【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠C﹦90°，AC﹦6，∠B﹦30°，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，同时动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒
个单位长度的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．过点P作PD∥BC，交A于点D，连接PQ．设运动时间为t秒（t ≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示QB、PD、BD的长度：QB﹦ ；PD﹦ ；BD﹦ ．
（2）当t取何值时，若四边形PDBQ是平行四边形？
（3）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻成为菱形，求点Q的速度；
（4）如图2，以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．在整个运动过程中，线段PQ的中点M（x，y）会在一个固定的函数图像上运动．则
①该函数解析式为 ；②自变量x的取值范围是 ；③点M所经过的路径长等于 ．
【答案】（1）QB
；PD
；BD
；（2）
；（3）不存在，证明见解析； Q点速度为每秒
个单位长度；（4）①
；②
；③6．
【解析】
（1）可用t表示出CQ、AP的长，由三角函数可得PD，AD的长，易得答案；
（2）由平行四边形的性质可得QB=DP，列方程求出t即可；
（3）当t=3时，求出BD=6≠DP，故不存在t的值，使四边形PDBQ为菱形，设点Q的速度为每秒v个单位长度，根据菱形的性质得到PD＝BD＝BQ，列方程求解即可；
（4）分析题意可知：点M的运动路径为一条线段，从AC中点运动到BC中点，用待定系数法可求出函数解析式并得到x的取值范围，由三角形中位线定理可求出M所经过的路径长.
解：（1）∵∠C﹦90°，AC﹦6，∠B﹦30°，
∴BC=
，AB=12，
∴QB，
∵tanA=
，
∴DP，AD=2t，
∴BD；
（2）若四边形PDBQ是平行四边形，则有QB=DP，
即
，
解得：t=3；
（3）不存在；
证明：t=3时，四边形PDBQ是平行四边形，
此时BD=6≠DP，
∴不存在t的值，使四边形PDBQ为菱形，
设点Q的速度为每秒v个单位长度，
则BQ＝vt，
要使四边形PDBQ为菱形，则PD＝BD＝BQ，
当PD＝BD时，即
，
解得：t＝
，
当PD＝BQ，t＝时，即
，
解得：v＝
∴当点Q的速度为每秒个单位长度时，在某一时刻可以使四边形PDBQ是菱形；
（4）∵点P从点A向点C运动，同时点Q从点C向点B运动，M是PQ的中点，
∴点M的运动路径为一条线段，从AC中点运动到BC中点，
①设函数解析式为y=kx+b，
将AC中点(3,0)，BC中点(
)代入解析式可得：
，
解得：
，
∴该函数解析式为
；
②由题意可知：自变量x的取值范围是：；
③点M所经过的路径长
.
名师导航单元期末冲刺100分系列答案
名校名卷单元同步训练测试题系列答案
【题目】为了传承中华优秀传统文化，某校学生会组织了一次全校1200名学生参加的“汉字听写”大赛，并设成绩优胜奖．
赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中100名学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
成绩x/分 | 频数 | 频率 |
50≤x＜60 | 10 | 0.10 |
60≤x＜70 | 25 | 0.25 |
70≤x＜80 | 30 | b |
80≤x＜90 | a | 0.20 |
90≤x≤100 | 15 | 0.15 |
成绩在70≤x＜80这一组的是：
70 70 71 71 71 72 72 73 73 73 73 75 75 75 75 76 76 76 76 76 76 76 76 77 77 78 78 78 79 79
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这次比赛成绩的中位数是 ；
（4）若这次比赛成绩在78分以上（含78分）的学生获得优胜奖，则该校参加这次比赛的1200名学生中获优胜奖的约有多少人？
