Question

△ABC内接于⊙O，且AB=AC，⊙O的半径等于6cm，O点到BC的距离OE等于3cm，则AC的长为________．

Answer 1

6cm或6cm
分析：此题分情况考虑：当三角形的外心在三角形的内部时，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理求得AB的长；当三角形的外心在三角形的外部时，根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理求得AC的长．
解答：分两种情况：
（1）假若∠A是锐角，△ABC是锐角三角形，
∵AB=AC
∴点A是优弧 的中点
∵OD⊥BC且AB=AC
根据垂径定理推论可知，DO的延长线必过点A，连接BO
∵BO=6，OD=3，
∴BD===3
在Rt△ADB中，AD=DO+AO=6+3=9，
∴AB=AC==6cm；
（2）若∠A是钝角，则△ABC是钝角三角形，
如图添加辅助线及求出BD=3
在Rt△ADB中，AD=AO-DO=6-3=3，
∴AB=AC==6cm．
综上所述AB=6cm或6cm．
点评：此题主要是勾股定理和垂径定理的运用．注意：三角形的外心可能在三角形的外部，可能在三角形的内部，也可能在三角形的一边上，即直角三角形的外心在其斜边的中点．