Question

【题目】（问题实验）如图①，在地面上有两根等长立柱，之间悬挂一根近似成抛物线的绳子．

（1）求绳子最低点到地面的距离；

（2）如图②，因实际需要，需用一根立柱撑起绳子．

①若在离为4米的位置处用立柱撑起，使立柱左侧的抛物线的最低点距为1米，离地面1.8米，求的长；

②将立柱来回移动，移动过程中，在一定范围内，总保持立柱左侧抛物线的形状不变，其函数表达式为，当抛物线最低点到地面距离为0.5米时，求的值．

（问题抽象）如图③，在平面直角坐标系中，函数的图像记为，函数的图像记为，其中是常数，图像、合起来得到的图像记为．

设在上的最低点纵坐标为，当时，直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】【问题实验】（1）米；（2）①米；②；【问题抽象】或．

【解析】

【问题实验】

（1）先把抛物线转化为顶点式，进而可得答案；

（2）①先求出点A坐标，由题意可设，然后把点A坐标代入即可求出a的值，再求当x=4时对应的y的值即为所求；

②根据题意可确定：该抛物线的顶点坐标为，然后把该点代入抛物线的解析式可得关于m的方程，解方程并结合抛物线对称轴的位置即可求出结果；

【问题抽象】

当时，对，确定其对称轴为直线后，由于，可分与两种情况，根据抛物线的性质确定其最小值y0，然后由即可得到关于m的不等式组，解不等式组即可求出结果；当x＜0时，对于，确定其对称轴是直线x=m后，仿照上面的思路求解即可．

解：【问题实验】（1），

∴绳子最低点到地面的距离是米；

（2）对，当x=0时，y=3，∴A（0，3），

①由题意可知：MN左侧的抛物线的顶点为（3，1.8），于是设抛物线的解析式为，

把代入，得：，解得：，

∴，

当时，，

∴米；

②由于的对称轴是直线x=m，所以该抛物线的顶点坐标为，

把代入中，，

解得：，，

由于抛物线的对称轴在y轴右侧，∴；

【问题抽象】

由题意知：抛物线M1、M2均过定点（0，3），当m≥0时，M1的最低点为（0，3），此时，抛物线M的最低点在M2上．当时，对M2：，其对称轴是直线．

①当，即时，

∵当时，y随x的增大而减小，∴当x=2时，y最小，此时，

∵，∴，解得：；

②当，即时，

∵x的范围是，∴当x=2m时y最小，此时，

∵，∴，解得：，

∵，∴此种情况的m的值不存在；

当m＜0时，M2的最低点为（0，3），此时，抛物线M的最低点在M1上，当x＜0时，对于M1：，其对称轴是直线x=m．

③当时，

∵当时，y随x的增大而增大，∴当x=﹣3时，y最小，此时，

∵，∴，解得：，

∵，所以m的范围是；

④当时，

∵x的范围是，∴当x=m时，y最小，此时，

∵，∴，解得：，

∵，∴；

综上所述，m的取值范围是：或．