Question

10．在矩形ABCD中，AB=8，BE，CF分别平分∠ABC，∠BCD，交AD于E，F，BE，CF交于点G，若EG=$\sqrt{2}$，则BC的长为14．

Answer 1

分析 根据矩形的性质，角平分线的定义，可以发现△DCF，△AEB，△BCG，△EFG都是等腰直角三角形，由此即可解决问题．

解答 解：如图，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=∠ABC=90°，AD∥BC，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠DCB，
∴∠FCB=∠EBC=∠BEA=45°，
∴∠CGB=∠EGF=90°，
∴∠GEF=∠GFE=45°，
∵EG=FG=$\sqrt{2}$，
∴EF=$\sqrt{2}$EG=2，
∵∠AEB=∠ABE=45°，
∴AE=AB=8，同理DC=DF=8，
∴DE=DF-EF=8-2=6，
∴BC=AD=AE+DE=8+6=14，
故答案为14．

点评 本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是题目中多个等腰直角三角形的证明，属于中考常考题型．