题目内容
在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数
（x＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A。
（x＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A。
（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由；
（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C，当四边形ABCP是菱形时：
①求出点A，B，C的坐标；
②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的
，若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由。
（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C，当四边形ABCP是菱形时：
①求出点A，B，C的坐标；
②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的
，若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由。| 解：（1）四边形OKPA是正方形。理由如下： ∵⊙P分别与两坐标轴相切， ∴PA⊥OA，PK⊥OK， ∴∠PAO=∠OKP=90°， 又∵∠AOK=90°， ∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°， ∴四边形OKPA是矩形， 又∵OA=OK， ∴四边形OKPA是正方形； （2）①连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为  ，过点P作PG⊥BC于G， ∵四边形ABCP为菱形， ∴BC=PA=PB=PC， ∴△PBC为等边三角形， 在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG=  sin∠PBG=  ，即 ，解之得：x=±2（负值舍去），∴PG=  ，PA=BC=2，易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1， ∴OB=OG-BG=1，OC=OG+GC=3， ∴A（0，  ），B（1，0）C（3，0），设二次函数解析式为：  ，据题意得： ，解之得：  ，∴二次函数关系式为：  ；②设直线BP的解析式为：y=kx+b，据题意得：  ，解之得：  ，∴直线BP的解析式为：  ，过点A作直线AM∥PB，则可得直线AM的解析式为：  ，解方程组：  得 ，过点C作直线CM∥PB，则可得直线CM的解析式为：  ，解方程组：  得 ，综上可知，满足条件的M的坐标有四个：（0，  ），（7，8 ），（3，0），（4， ）。 |
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