Question

【题目】已知：如图，以等边的边为直径作，分别交，于点，，过点作交于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若等边的边长为8，求由、、围成的阴影部分面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）6﹣．

【解析】

（1）连接CD、OD，先利用等腰三角形的性质证AD＝BD，再证OD为△ABC的中位线得DO∥AC，根据DF⊥AC可得结论；

（2）连接OE，作OG⊥AC，求出EF、DF的长及∠DOE的度数，根据S阴影＝S梯形EFDO﹣S扇形DOE计算可得．

解：（1）连接CD、OD，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，

又∵△ABC是等边三角形，

∴AD=BD，

∵BO=CO，

∴DO是△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD，

∴DF是⊙O的切线；

（2）连接OE，作OG⊥AC于点G，

∴∠OGF=∠DFG=∠ODF=90°，

∴四边形OGFD是矩形，

∴FG=OD=4，

∵OC=OE=OD=OB，且∠ACB=∠B=60°，

∴△OBD和△OCE均为等边三角形，

∴∠BOD=∠COE=60°，CE=OC=4，

∴EG=CE=2，DF=OG=OCsin60°=2，∠DOE=60°，

∴EF=FG﹣EG=2，

∴S阴影＝S梯形EFDO﹣S扇形DOE=×（2+4）×2﹣=6﹣．