Question

17．如图，已知在四边形ABCD中，AB⊥CB于B，DC⊥BC于C，DE平分∠ADC，且E为BC的中点．
（1）求证：AE平分∠BAD；
（2）求∠AED的度数．

Answer 1

分析 （1）过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE=EF，再求出BE=EF，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明；
（2）求出DC∥AB，求出∠CDA+∠BAD=180°，根据角平分线定义得出∠EAD=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠EDA=$\frac{1}{2}$∠CDA，求出∠EAD+∠EDA=90°，即可求出答案．

解答 （1）证明：如图，过点E作EF⊥AD于F，
∵∠C=90°，DE平分∠ADC，
∴CE=EF，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
∴BE=EF，
又∵∠B=90°，EF⊥AD，
∴AE平分∠BAD；

（2）解：∵∠C=∠B=90°，
∴∠D+∠B=180°，
∴DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD=180°，
∵DE平分∠ADC，AE平分∠BAD，
∴∠EAD=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠EDA=$\frac{1}{2}$∠CDA，
∴∠EAD+∠EDA=90°，
∴∠AED=180°-90°=90°．

点评 本题考查了角平分线性质，平行线的性质和判定的应用，注意：角平分线上的点到角的两边距离相等和到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记性质是解题的关键．