Question

9．如图，抛物线y=ax²+bx-4与x轴交于A（-4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是x轴上的一动点，且位于AB之间，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，设P点横坐标为x，△PCE的面积为S，请求出S关于x的解析式，并求△PCE面积的最大值；
（3）点为D（-2，0），若点M是线段AC上一动点，是否存在M点，能使△OMD是等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将A、B两点坐标代入解析式直接求出a、b即可；
（2）设出P点横坐标，由于PE∥AC，则△BPE和△BAC相似，根据面积比是相似比的平方得出△BPE的面积表达式，用△PCB的面积减去△BPE的面积就是S，再利用配方法求最值即可；
（3）分两种情况讨论：①DO=DM；②MD=MO．

解答 解：（1）把点A（-4，0），B（2，0）分别代入中，得：$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b-4=0}\\{4a+2b-4=0}\end{array}\right.$，
∴a=$\frac{1}{2}$，b=1，
∴这个二次函数解析式为$y=\frac{1}{2}{x}^{2}+x-4$，C（0，-4）；
（2）设P点坐标为（x，0），则BP=2-x，S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•OC=\frac{1}{2}×6×4=12$
∵PE∥AC，
∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，
∴△BPE∽△BAC，
∴$\frac{{S}_{△BPE}}{{S}_{△BAC}}$=（$\frac{BP}{BA}$）²，即：$\frac{{S}_{△BPE}}{12}$=（$\frac{2-x}{6}$）²，
∴${S}_{△BPE}=\frac{1}{3}（2-x）^{2}$，
又∵${S}_{△BCP}=\frac{1}{2}（2-x）×4=2（2-x）$，
∴S_△PCE=S_△BCP-S_△BPE=2（2-x）-$\frac{1}{3}（2-x）^{2}$=$-\frac{1}{3}（x+1）^{2}+3$，
∴x=-1时，△PCE面积有最大值为3；
（3）存在M点．①如图，过点D作DM垂直x轴交AC于M，

∵A（-4，0），C（-4，0），
∴DM=AD=2=DO，
∴M（-2，-2）；
②如图，设DO的中垂线交AC于点M，则MD=MO，

由A、C两点坐标可知AC的解析式为y=-x-4，
将x=-1代入可得y=-3，
∴M（-1，-3）．
综上所述，点M的坐标为（-1，-3）或（-2，-2）．

点评 本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，配方法求二次函数最值，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形等知识点，综合性较强，难度中等．对于第三问，分类讨论是解答的关键．