题目内容

如图，在平面直角坐标系中，以A（3，0）为圆心，以5为半径的圆与x轴相交于B、C，与y轴的负半轴相交于D．
（1）若抛物线y=ax²+bx+c经过B、C、D三点，求此抛物线的解析式，并写出抛物线与圆A的另一个交点E的坐标；
（2）若动直线MN（MN∥x轴）从点D开始，以每秒1个长度单位的速度沿y轴的正方向移动，且与线段CD、y轴分别交于M、N两点，动点P同时从点C出发，在线段OC上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，连接PM，设运动时间为t秒，当t为何值时， $数学公式$ 的值最大，并求出最大值；
（3）在（2）的条件下，若以P、C、M为顶点的三角形与△OCD相似，求实数t的值．

解：（1）由A（3，0）可知OA=3，又圆的半径为5得OB=2，OC=8，
所以B（-2，0）C（8，0），易得D（0，-4），
设y=a（x+2）（x-8），
从而-4=a（0+2）（0-8），
解得a= $\text{[math]}$ ，
所以y= $\text{[math]}$ （x+2）（x-8），
即y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x-4，
又- $\text{[math]}$ =3，点D和点E关于直线x=3对称，
所以E（6，-4）；

（2）N（0，t-4），因为MN∥OC，
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即MN=2t，
又OP=8-2t，所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （t-2）²+2
所以当t=2时取最大值2；

（3）若△PCM∽△OCD，
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得t=2；
若△MCP∽△OCD，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得t= $\text{[math]}$
即当t=2或t= $\text{[math]}$ 时，以P、C、M为顶点的三角形与△OCD相似．
分析：（1）根据点A的坐标和圆的半径可求出点B，点C，和点D的坐标，然后把抛物线的解析式设成两根式，把三点的坐标代入即可求出a的值，把a的值代入解析式化为一般式即可；由抛物线的对称性可知点D和点E关于抛物线的对称轴对称．利用- $\text{[math]}$ 求出对称轴，利用对称轴和点D的坐标即可得出点E的坐标．
（2）根据路程等于速度乘以时间可得出DN=t，OP=8-2t，然后根据MN∥OC得出比例表示出MN，然后把表示出的MN和OP代入到 $\text{[math]}$ 得到一个关于t的二次函数，当t=- $\text{[math]}$ =2时，代入 $\text{[math]}$ 求出此时的最大值．
（3）把相似作为已知的条件来做，角PCM为公共角，所以分两种情况讨论：第一种△PCM∽△OCD，由相似的比例即可求出他的值；第二种情况△MCP∽△OCD，也有相似得比例，根据比例求出他的值．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形相似的运用．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．