Question

【题目】如图，在矩形中，，动点从点同时出发，点以每秒个单位长度的速度沿边向终点匀速运动，点以每秒个单位长度的速度沿边向终点匀速运动，以为边在边上方作正方形设点运动时间为．

（1）用含的代数式表示 ；

（2）当点落在边上时，求此时的值；

（3）设正方形与矩形重叠图形的面积为请直接写出与之间的函数关系式，并写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由题意可得BE，BF的长，由勾股定理即可求出EF；

（2）由四边形EFGH是正方形，易证得，进而得出，即可求得t的值；

（3）分，，三种情况进行分类讨论并画出图形，利用三角函数分别进行求解即可．

（1） 由题意得，BE=t，BF=2t，

在Rt△BEF中，由勾股定理得，

，

（2）当点落在边上时，如图所示，

过点作于点

四边形为矩形，

∵四边形是正方形，

，

在与中

∵

；

（3）①当时，如图，

由题意得，BE=t，BF=2t，则AE=6-t，

∵四边形EFGH是正方形，

，

∴∠AEM+∠BEF=90°，∠BFE+∠BEF =90°，

∴∠BFE=∠AEM，

∴，，

∴，

，

∵四边形ABCD是矩形，四边形EFGH是正方形，

∴∠EAM=∠MHN=90°，

∵∠AME=∠HMN，

∴∠AEM=∠HNM

∴，

∴，

∴，

；

②当时，过点M作MP⊥FG，如图，

∵四边形EFGH是正方形，

∴∠HEF=∠GFE=90°，

∵MP⊥FG，

∴四边形MEFP是矩形，

∴∠EMP=90°，MP=EF=，

∴∠AME+∠PMN=90°，∠AEM+∠AME=90°，

∴∠AEM=∠PMN，

∴，

∴，

，

③当，如图，

∵四边形EFGH是正方形，

∴∠EFG=90°，

∴∠BFE+∠NFC=90°，∠NFC+∠FNC =90°，

∴∠BFE =∠FNC，

∴，

∴，

∴，，，

∴，

综上所述，正方形与矩形重叠图形的面积为：