题目内容

如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM＝PN．

(1)当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；

(2)当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，(1)的结论是否还成立？请说明理由；

(3)当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO＝15°，求图中阴影部分的面积．

答案：
解析：

　　解：(1)PN与⊙O相切．

　　证明：连结ON，则∠ONA＝∠OAN，∵PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN．

　　∵∠AMO＝∠PMN，∴∠PNM＝∠AMO．

　　∴∠PNO＝∠PNM＋∠ONA＝∠AMO＋∠ONA＝90°．

　　即PN与⊙O相切．

　　(2)成立．

　　证明：连结ON，则∠ONA＝∠OAN，∵PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN．

　　在Rt△AOM中，

　　∴∠OMA＋∠OAM＝90°，∴∠PNM＋∠ONA＝90°．

　　∴∠PNO＝180°－90°＝90°．

　　即PN与⊙O相切．

　　(3)连结ON，由(2)可知∠ONP＝90°．

　　∵∠AMO＝15°，PM＝PN，∴∠PNM＝15°，∠OPN＝30°，

　　∵∠PON＝60°，∠AON＝30°．

　　作NE⊥OD，垂足为点E，则NE＝ON·sin60°＝1×＝．

　　＝OC·OA＋CO·NE

　　＝．


练习册系列答案
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2
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