Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（7，0），点B的坐标为（3，4），
（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；
（2）将线段AB绕A点顺时针旋转75°至AC，直接写出点C的坐标；
（3）在y轴上找一点P，第一象限找一点Q，使得以O、B、Q、P为顶点的四边形是菱形，求出点Q的坐标；
（4）△OAB的边OB上有一动点M，过M作MN∥OA交AB于N，将△BMN沿MN翻折得△DMN．设MN=x，△DMN与△OAB重叠部分的面积为y，求出y与x之间的函数关系式，并求出重叠部分面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx（a≠0），把点A、B的坐标代入求出a、b的值即可得解；
（2）过点C作CE⊥x轴于E，根据点A、B的坐标求出AB的长和∠BAO=45°再求出∠CAE=60°，然后解直角三角形求出CE、AE，从而求出OE，根据点C在第一象限解答；
（3）利用勾股定理列式求出OB，然后分①OB是菱形的边时求出点Q到x轴的距离，再写出点Q的坐标；②OB是菱形的对角线时，根据菱形的对角线互相垂直平分列式，利用∠OBQ的余弦列式求出BQ的长，再求出点Q到x轴的距离，然后写出点Q的坐标；
（4）根据翻折的性质求出点D在OA上时的MN=

7

2

，然后分①0＜x≤

7

2

时，重叠部分是△DMN的面积，然后求出△OAB的面积，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列式计算即可得解；②

7

2

＜x＜7时，连接BD交MN于F，交OA于G，设DM与OA相交于H，DN与OA相交于K，利用相似三角形对应高的比等于相似比求出BF=DF=

4

7

x，再求出FG，DG，然后求出HK的长，根据梯形的面积公式列式整理，然后利用二次函数的最值问题解答．

解答：解：（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx（a≠0），
∵点A（7，0）、B（3，4）在抛物线上，
∴

49a+7b=0 9a+3b=4

，
解得

a=- 1 3 b= 7 3

，
∴抛物线解析式y=-

1

3

x²+

7

3

x；

（2）过点C作CE⊥x轴于E，
∵A（7，0），B（3，4），
∴AB=

(7-3)2+42

=4

2

，∠BAO=45°，
∵AB绕A点顺时针旋转75°至AC，
∴∠CAE=180°-45°-75°=60°，
∴CE=4

2

×

3

2

=2

6

，AE=4

2

×

1

2

=2

2

，
∴OE=OA+AE=7+2

2

，
∵点C在第一象限，
∴点C的坐标为（7+2

2

，2

6

）；

（3）由勾股定理得，OB=

32+42

=5，
①OB是菱形的边时，点Q到x轴的距离为4+5=9，
所以，点Q的坐标（3，9）；
②OB是菱形的对角线时，BQ=

1

2

OB÷cos∠OBQ=

5

2

÷

4

5

=

25

8

，
所以，点Q到x轴的距离为4-

25

8

=

7

8

，
所以，点Q的坐标为（3，

7

8

），
综上所述，以O、B、Q、P为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标为（3，9）或（3，

7

8

）；

（4）当点D在OA上时，MN=

1

2

OA=

7

2

，
①0＜x≤

7

2

时，重叠部分是△DMN的面积，
△OAB的面积=

1

2

×7×4=14，
∵MN∥OA，
∴△BMN∽△BOA，
∴

S△BMN

S△BOA

=（

MN

OA

）²=（

x

7

）²=

1

49

x²，
∴y=

1

49

x²•14=

2

7

x²，
当x=

7

2

时，y最大且最大值为

7

2

；
②

7

2

＜x＜7时，连接BD交MN于F，交OA于G，设DM与OA相交于H，DN与OA相交于K，
由△BMN∽BOA得，

MN

OA

=

BF

BG

，
即

x

7

=

BF

4

，
解得BF=

4

7

x，
由翻折的性质得，BF=DF=

4

7

x，
∴FG=4-

4

7

x，DG=

4

7

x-（4-

4

7

x）=

8

7

x-4，
由△DHK∽△DMN得，

HK

MN

=

DG

DF

，
即

HK

x

=

8 7 x-4

4 7 x

，
解得HK=2x-7，
重叠部分面积y=S_{四边形MHKN}=

1

2

×（2x-7+x）×（4-

4

7

x）=-

6

7

x²+8x-14，
配方得，y=-

6

7

（x-

14

3

）²+

14

3

，
当x=

14

3

时，y最大且最大值为

14

3

，
综上所述，y与x之间的函数关系式为y=

y= 2 7 x2(0＜x≤ 7 2 ) y=- 6 7 x2+8x-14( 7 2 ＜x＜7)

，
∵

7

2

＜

14

3

，
∴当x=

14

3

时，y最大且最大值为

14

3

．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，翻折变换的性质，解直角三角形，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，（3）难点在于分情况讨论，（4）求出点D在x轴下方时重叠部分的梯形的上底与高的长度是解题的关键．