Question

12．如图，AB是⊙O直径，∠DAC=∠BAC，CD⊥AD，交AB延长线于点P，
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若tan∠BAC=$\frac{1}{2}$，PB=2，求⊙O半径．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质和∠DAC=∠BAC，得出∠DAC=∠OCA，判定OC∥AD，得出∠OCP=90°，即可证得结论；
（2）连接BC，证得△PBC∽△CPA，根据相似三角形的性质得出$\frac{PC}{PA}$=$\frac{CB}{AC}$=$\frac{PB}{PC}$，根据tan∠BAC=$\frac{1}{2}$得出PC²=PB•PA，PA=2PC，进一步求得PC=4，设⊙O半径为x，则OP=x+2，根据勾股定理列出方程，解方程即可求得．

解答 （1）证明：∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，又∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，又CD⊥AD，
∴∠OCP=90°，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接BC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCB=∠PAC，
∵∠BPC=∠CPA，
∴△PBC∽△CPA，
∴$\frac{PC}{PA}$=$\frac{CB}{AC}$=$\frac{PB}{PC}$，
∵tan∠BAC=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴PC²=PB•PA，PA=2PC，
∴PC²=2PB•PC，PC=2PB=4，
设⊙O半径为x，则OP=x+2，
在RT△OPC中，OP²=OC²+PC²，即（x+2）²=x²+4²，
解得x=3，
∴⊙O半径为3．

点评 本题考查了切线的判定和性质三角形相似的判定和性质以及勾股定理的应用，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．