Question

如图，AB是⊙O 的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．

（1）求证：∠BCO=∠D；
（2）若CD=，AE=2，求⊙O的半径．

Answer 1

∠BCO=∠D  半径=3.

解析试题分析：(1)证明：∵O为圆心，∴OB="OC," ∴∠BCO="∠B" 又∵∠B与∠D所对的同弧AC，∴∠B="∠D" ∴∠BCO=∠D  (2)设半径为x,则EO="（x-2）," ∵CD⊥AB∴CE=DE=×4=2 在Rt△CEO中，由勾股定理得；CO2-OE2="CE2" 即x2-(x-2)2=(2)2 解得x="3" （1）证明：如图.

∵OC=OB，
∴∠BCO=∠B.
∵∠B=∠D，
∴∠BCO=∠D.  ………………………………2分
（2）解：∵AB是⊙O 的直径，且CD⊥AB于点E，
∴. ............................................ 3分
在Rt△OCE中，，
设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=OAAE=r2，
∴.  ................................................... 4分
解得.
∴⊙O 的半径为3.   5分
考点：垂径定理，勾股定理，在同圆等圆中圆周角与弧的关系。等腰三角形的性质。
点评：在同圆中，两个角要是相等的条件是所对的同一个弧，（1）中∴∠B=∠D，又∠B=∠BCO，∴等量代换证得。（2）中，根据勾股定理可列方程求之。中等偏难题，计算较多。