Question

如图，AB是半圆O的直径，BC是弦，点P从点A开始，沿AB向点B以1cm/s的速度移动，若AB长为10cm，点O到BC的距离为4cm．
（1）求弦BC的长；
（2）问经过几秒后△BPC是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）作OD⊥BC于D，易求得BC=2BD=6cm；
（2）由题意知，PB=AB=10-t，故有三种情况，BP=BC或PC=PB或BC=BP，分别求解．

解答：解：（1）作OD⊥BC于D，由垂径定理知，点D是BC的中点，BD=

1

2

BC，
∵OB=

1

2

AB=5，OD=4，
由勾股定理得，BD=

OB2-OD2

=3，
∴BC=2BD=6cm；

（2）设经过t秒后，△BPC是等腰三角形，
①当PC为底边时，有BP=BC，10-t=6，解得：t=4（秒）；
②当BC为底边时，有PC=PB，P点与O点重合，此时t=5（秒）；
③当PB为底边时，有PC=BC，连接AC，作CE⊥AB于E，
则BE=

10-t

2

，AE=

10+t

2

，
∵AB是直径，
∴△ABC是直角三角形，
根据勾股定理AC=

AB2-BC2

=

102-62

=8，
由AC²-AE²=BC²-BE²，
64-（

10+t

2

）²=36-（

10-t

2

）²，
解得：t=2.8（秒）．
综上，经过4秒或5秒或2.8秒时，△BPC是等腰三角形．

点评：本题利用了垂径定理，勾股定理求解，注意当△BPC是等腰三角形时，点P的位置有三种情况．