Question

【题目】在正方形ABCD中，E对角线AC上一点，连接DE.

（1）如图1，若E为对角线AC中点，过点C、D分别作AC、DE的垂线相交于点F，连接AF，若AF＝10，求正方形ABCD的面积；

（2）如图2，把△ADE绕点D顺时针旋转90°得到△CDF，连接AF，取AF的中点为M，连接DM，求证：4DM2+AE2＝2DF2.

Answer 1

【答案】）（1）40；（2）详见解析

【解析】

（1）求正方形ABCD的面积，只需要先求出边长，可设a，再将直角三角形ACF的两条直角边用a来表示，再用勾股定理即可列出关于a的方程，解出并计算面积即可；

（2）要求证，即证，由旋转不变性知：,故只需证,由直角三角形知右式等于，故只需证明，而我们易得直角三角形,在这个三角形中，而由旋转不变性知，故只需求证，过点做的平行线，构造平行线型全等，即可得到，故只需求证：，通过全等即可.

解：设正方形的边长为a，则对角线，

又若E为对角线AC中点，

∴，

又∵，

∴四边形是正方形，

∴

∵在中，，span>，，，

∴，解得，

即正方形的面积为40.

（2）过点做，交的延长线于点，延长交于点，连接；

∵，

∴∽,

∴,

又∵是的中点，

∴,

∴,

∴；

∵正方形,

∴；

∵△ADE绕点D顺时针旋转90°得到△CDF，

∴≌,,

∴，,,

∵,

∴,

∴,

又∵，

∴；

∵,,

∴；

∵在和中

∴≌ (SAS)；

∴，

又∵，

∴；

又∵,,在中，,在中，

∴，即.