Question

14．如图所示，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q，
（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有DQ=BQ；
（2）当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的$\frac{1}{6}$；
（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰好为等腰三角形．

Answer 1

分析 1）根据正方形性质得出AB=AD，∠BAD=90°，∠DAC=∠BAC=45°，利用“边角边”证明△ADQ≌△ABQ即可得出结论；
（2）过点Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，则QE=QF=AE=AF，若△ADQ的面积是正方形ABCD面积的$\frac{1}{6}$，则有S_△ADQ=$\frac{1}{2}$AD•QE=$\frac{1}{6}$S_{正方形ABCD}，求得OE的值，再利用△DEQ∽△DAP有$\frac{QE}{AP}$=$\frac{DE}{DA}$解得AP值；
（3）点P运动时，△ADQ恰为等腰三角形的情况有三种：QD=QA或DA=DQ或AQ=AD．
①当点P运动到与点B重合时，QD=QA，此时△ADQ是等腰三角形；
②当点P与点C重合时，点Q与点C也重合，此时DA=DQ，△ADQ是等腰三角形；
③当AD=AQ=4时，有CP=CQ，CP=AC-AD而由正方形的对角线的性质得到CP的值．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，∠DAC=∠BAC=45°，
在△ADQ和△ABQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠DAC=BAC}\\{AQ=AQ}\end{array}\right.$，
∴△ADQ≌△ABQ（SAS），
∴DQ=BQ；
（2）解：△ADQ的面积恰好是正方形ABCD面积的$\frac{1}{6}$时，
过点Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，如图1所示：
则四边形AFQE为正方形，
∴QE=QF=AE=AF，
∵在边长为4的正方形ABCD中，
∴S_{正方形ABCD}=16，
∴$\frac{1}{2}$AD×QE=$\frac{1}{6}$S_{正方形ABCD}=$\frac{1}{6}$×16=$\frac{8}{3}$，
∴QE=$\frac{4}{3}$，
∵EQ∥AP，
∴△DEQ∽△DAP，
∴$\frac{QE}{AP}$=$\frac{DE}{DA}$，即$\frac{\frac{4}{3}}{AP}=\frac{4-\frac{3}{4}}{4}$，
解得AP=2，
∴AP=2时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的$\frac{1}{6}$；
（3）解：如图2所示：
若△ADQ是等腰三角形，则有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD，
①当AD=DQ时，则∠DQA=∠DAQ=45°
∴∠ADQ=90°，P为C点，
②当AQ=DQ时，则∠DAQ=∠ADQ=45°，
∴∠AQD=90°，P为B，
③AD=AQ（P在BC上），
∴CQ=AC-AQ=$\sqrt{2}$BC-BC=（$\sqrt{2}$-1）BC
∵AD∥BC，
∴△ADQ∽△CQP，
∴$\frac{CP}{AD}$=$\frac{CQ}{AQ}$，即可得$\frac{CP}{CQ}$=$\frac{AD}{AQ}$=1，
∴CP=CQ=（$\sqrt{2}$-1）BC=4（$\sqrt{2}$-1）
综上所述：P在B点，C点，或在CP=4（$\sqrt{2}$-1）处，△ADQ是等腰三角形．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识；本题综合性强，难度较大，（3）需要分类讨论．